รูปแบบต่างๆของนิพจน์ทั่วไปซึ่งรวมถึงผลรวมของผลิตภัณฑ์ (SOP) และผลิตภัณฑ์ของผลรวม (POS), The นิพจน์บัญญัติ สามารถกำหนดเป็นไฟล์ นิพจน์บูลีน ซึ่งมีระยะขั้นต่ำหรือระยะสูงสุด ตัวอย่างเช่นถ้าเรามีตัวแปรสองตัวคือ X & Y ดังนั้นนิพจน์มาตรฐานที่ประกอบด้วยพจน์ขั้นต่ำจะเป็น XY + X'Y 'ในขณะที่นิพจน์บัญญัติที่ประกอบด้วยคำสูงสุดจะเป็น (X + Y) (X' + Y ' ). บทความนี้กล่าวถึงภาพรวมของ Sum of Products และ Product of Sums ประเภทของ SOP และ POS การออกแบบแผนผังและ K-map
ผลรวมของผลิตภัณฑ์และผลิตภัณฑ์ของผลรวม
แนวคิดของ ผลรวมของผลิตภัณฑ์ (SOP) ส่วนใหญ่ประกอบด้วย minterm ประเภทของ SOP, K-map และการออกแบบแผนผังของ SOP ในทำนองเดียวกันผลคูณของผลรวม (POS) ส่วนใหญ่รวมถึง ระยะสูงสุด , ชนิดของ ผลคูณของผลรวม , k-map และการออกแบบแผนผังของ POS
ผลรวมของผลิตภัณฑ์ (SOP) คืออะไร?
รูปแบบสั้น ๆ ของผลรวมของผลิตภัณฑ์คือ SOP และเป็นชนิดหนึ่ง พีชคณิตบูลีน นิพจน์. ในสิ่งนี้จะมีการเพิ่มปัจจัยการผลิตที่แตกต่างกันเข้าด้วยกัน ผลคูณของอินพุตคือบูลีน ตรรกะ AND ในขณะที่ผลรวมหรือการบวกเป็นตรรกะบูลีนหรือ ก่อนที่จะเข้าใจแนวคิดของผลรวมของผลิตภัณฑ์เราต้องรู้แนวคิดของ minterm
ระยะขั้นต่ำ สามารถกำหนดได้ว่าเมื่อชุดอินพุตต่ำสุดสูงเอาต์พุตจะสูง ตัวอย่างที่ดีที่สุดคือ AND gate ดังนั้นเราจึงสามารถพูดได้ว่า min terms คือการผสมของ AND gate input ตารางความจริงของเทอมขั้นต่ำแสดงอยู่ด้านล่าง
X | ย | ด้วย | ระยะเวลาขั้นต่ำ (ม.) |
0 | 0 | 0 | X’Y’Z ’= m0 |
0 | 0 | 1 | X’Y’Z = m1 |
0 | 1 | 0 | X’Y Z ’= m2 |
| 0 | 1 | 1 | X’YZ = m3 |
| 1 | 0 | 0 | XY’Z ’= m4 |
1 | 0 | 1 | XY’Z = m5 |
| 1 | 1 | 0 | XYZ ’= m6 |
| 1 | 1 | 1 | XYZ = m7 |
ในตารางด้านบนมีอินพุตสามตัว ได้แก่ X, Y, Z และชุดค่าผสมของอินพุตเหล่านี้คือ 8 ทุกชุดค่าผสมจะมีค่า minterm ที่ระบุด้วย m
ประเภทผลรวมของผลิตภัณฑ์ (SOP)
ผลรวมของผลิตภัณฑ์ มีอยู่ใน สามรูปแบบที่แตกต่างกัน ซึ่งรวมถึงสิ่งต่อไปนี้
- ผลรวมของผลิตภัณฑ์ที่ยอมรับได้
- ผลรวมของผลิตภัณฑ์ที่ไม่ใช่มาตรฐาน
- ผลรวมน้อยที่สุดของผลิตภัณฑ์
1). ผลรวมของผลิตภัณฑ์ที่ยอมรับได้
นี่เป็นรูปแบบปกติของ SOP และสามารถสร้างขึ้นด้วยการจัดกลุ่ม minterms ของฟังก์ชันที่ o / p สูงหรือเป็นจริงและเรียกอีกอย่างว่าผลรวมของ minterms นิพจน์ของ SOP ที่เป็นที่ยอมรับจะแสดงด้วยการรวมเครื่องหมาย (∑) และ minterms ในวงเล็บจะถูกนำมาใช้เมื่อเอาต์พุตเป็นจริง ตารางความจริงของผลรวมมาตรฐานของผลิตภัณฑ์แสดงอยู่ด้านล่าง
X | ย | ด้วย | ฉ |
0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
สำหรับตารางด้านบนไฟล์ แบบฟอร์ม SOP ที่เป็นที่ยอมรับ สามารถเขียนเป็น F = ∑ (ม. 1 ม. 2 ม. 3 ม. 5)
ด้วยการขยายผลรวมข้างต้นเราจะได้รับฟังก์ชันต่อไปนี้
F = m1 + m2 + m3 + m5
โดยการแทนที่ minterms ในสมการด้านบนเราจะได้นิพจน์ด้านล่าง
F = X’Y’Z + X’YZ ’+ X’YZ + XY’Z
ข้อกำหนดผลิตภัณฑ์ของรูปแบบบัญญัติประกอบด้วยทั้งอินพุตที่สมบูรณ์และไม่ได้รับคำชมเชย
2). ผลรวมของผลิตภัณฑ์ที่ไม่ใช่มาตรฐาน
ในผลรวมของรูปแบบผลิตภัณฑ์ที่ไม่ใช่ Canonical ข้อกำหนดของผลิตภัณฑ์จะทำให้ง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่นลองใช้นิพจน์บัญญัติข้างต้น
F = X’Y’Z + X’YZ ’+ X’YZ + XY’Z
F = X’Y’Z + X’Y (Z ’+ Z) + XY’Z
ที่นี่ Z ’+ Z = 1 (ฟังก์ชันมาตรฐาน)
F = X’Y’Z + X’Y (1) + XY’Z
F = X’Y’Z + X’Y + XY’Z
สิ่งนี้ยังคงอยู่ในรูปแบบของ SOP แต่เป็นรูปแบบที่ไม่ใช่บัญญัติ
3). ผลรวมน้อยที่สุดของผลิตภัณฑ์
นี่คือนิพจน์ที่เรียบง่ายที่สุดของผลรวมของผลรวมและยังเป็นประเภทที่ไม่บัญญัติศัพท์ กระป๋องชนิดนี้ทำให้ง่ายขึ้นด้วยพีชคณิตบูลีน ทฤษฎีบท แม้ว่าจะทำได้ง่าย ๆ โดยใช้ไฟล์ K-map (แผนที่ Karnaugh) .
แบบฟอร์มนี้ถูกเลือกเนื่องจากจำนวนบรรทัดอินพุต & มีการใช้ประตู นี่คือขั้นต่ำ มีประโยชน์อย่างมากเนื่องจากมีขนาดที่มั่นคงความเร็วที่รวดเร็วและราคาการผลิตที่ต่ำ
มาดูตัวอย่างของฟังก์ชันรูปแบบบัญญัติและขั้นต่ำ แผนที่ผลรวมของผลิตภัณฑ์ K คือ
SOP K- แผนที่
การแสดงออกตามแผนที่ K จะเป็น
F = Y’Z + X’Y
การออกแบบแผนผังของผลรวมของผลิตภัณฑ์
การแสดงออกของผลรวมของผลิตภัณฑ์ดำเนินการออกแบบ AND-OR สองระดับและการออกแบบนี้ต้องใช้ชุดของประตู AND และหนึ่งประตูหรือหนึ่งประตู แต่ละนิพจน์ของผลรวมของผลิตภัณฑ์มีการออกแบบที่คล้ายคลึงกัน
การออกแบบแผนผังของ SOP
จำนวนอินพุตและจำนวนประตู AND ขึ้นอยู่กับนิพจน์ที่กำลังใช้งาน การออกแบบสำหรับผลรวมขั้นต่ำของผลิตภัณฑ์และนิพจน์มาตรฐานโดยใช้ประตู AND-OR แสดงไว้ด้านบน
Product of Sum (POS) คืออะไร?
รูปแบบสั้น ๆ ของผลรวมคือ POS และเป็นนิพจน์พีชคณิตบูลีนชนิดหนึ่ง ในรูปแบบนี้เป็นรูปแบบที่นำเอาผลรวมของอินพุตที่ไม่เหมือนกันซึ่งไม่ใช่ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์ & ผลรวมแม้ว่าจะเป็นบูลีนตรรกะ AND & OR ตามลำดับก็ตาม ก่อนที่จะทำความเข้าใจแนวคิดของผลคูณของผลรวมเราต้องรู้แนวคิดของระยะสูงสุดก่อน
maxterm สามารถกำหนดเป็นคำที่เป็นจริงสำหรับชุดอินพุตจำนวนสูงสุดมิฉะนั้นจะเป็นเท็จสำหรับชุดค่าผสมอินพุตเดียว เนื่องจาก OR gate ยังให้ false สำหรับชุดค่าผสมอินพุตเดียว ดังนั้นคำว่า Max จึงเป็นหรือของอินพุตที่ไม่ได้เติมเต็มใด ๆ
X | ย | ด้วย | ระยะสูงสุด (M) |
0 | 0 | 0 | X + Y + Z = M0 |
| 0 | 0 | 1 | X + Y + Z '= M1 |
0 | 1 | 0 | X + Y ’+ Z = M2 |
| 0 | 1 | 1 | X + Y ’+ Z’ = M3 |
1 | 0 | 0 | X ’+ Y + Z = M4 |
| 1 | 0 | 1 | X ’+ Y + Z’ = M5 |
1 | 1 | 0 | X ’+ Y’ + Z = M6 |
| 1 | 1 | 1 | X ’+ Y’ + Z ’= M7 |
ในตารางด้านบนมีอินพุตสามตัวคือ X, Y, Z และชุดค่าผสมของอินพุตเหล่านี้คือ 8 ทุกชุดค่าผสมมีค่าสูงสุดที่ระบุด้วย M
ในระยะสูงสุดอินพุตทุกรายการจะได้รับการเติมเต็มเนื่องจากมีเพียง '0' ในขณะที่ใช้ชุดค่าผสมที่ระบุไว้และส่วนเติมเต็มของ minterm เป็นคำสูงสุด
M3 = m3 ’
(X’YZ) ’= M3
X + Y ’+ Z’ = M3 (กฎหมายของ De Morgan)
ประเภทของผลรวม (POS)
ผลคูณของผลรวมแบ่งออกเป็นสามประเภทซึ่งรวมถึงสิ่งต่อไปนี้
- ผลิตภัณฑ์หลักของผลรวม
- ผลิตภัณฑ์ที่ไม่ใช่มาตรฐานของผลรวม
- ผลิตภัณฑ์ขั้นต่ำของผลรวม
1). Canonical Product of Sum
Canonical POS ยังได้รับการตั้งชื่อเป็นผลิตภัณฑ์ของคำศัพท์สูงสุด เหล่านี้เป็นและร่วมกันซึ่ง o / p ต่ำหรือเท็จ นิพจน์นี้แสดงโดย ∏ และเงื่อนไขสูงสุดในวงเล็บจะถูกใช้เมื่อเอาต์พุตเป็นเท็จ ตารางความจริงของผลรวมตามรูปแบบบัญญัติแสดงอยู่ด้านล่าง
X | ย | ด้วย | ฉ |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
สำหรับตารางด้านบนคุณสามารถเขียน POS แบบบัญญัติเป็นไฟล์ ค่า F = ∏ (M0, M4, M6, M7)
โดยการขยายสมการข้างต้นเราจะได้รับฟังก์ชันต่อไปนี้
F = M0, M4, M6, M7
โดยการแทนที่เงื่อนไขสูงสุดในสมการด้านบนเราจะได้นิพจน์ด้านล่าง
F = (X + Y + Z) (X ’+ Y + Z) (X’ + Y ’+ Z) (X’ + Y ’+ Z’)
ข้อกำหนดผลิตภัณฑ์ของรูปแบบบัญญัติประกอบด้วยทั้งอินพุตที่สมบูรณ์และไม่ได้รับคำชมเชย
2). ผลิตภัณฑ์ที่ไม่ใช่มาตรฐานของผลรวม
นิพจน์ของ ผลคูณของผลรวม (POS) ไม่อยู่ในรูปแบบปกติถูกตั้งชื่อเป็นรูปแบบที่ไม่ใช่บัญญัติ ตัวอย่างเช่นลองใช้นิพจน์ข้างต้น
F = (X + Y + Z) (X ’+ Y + Z) (X’ + Y ’+ Z) (X’ + Y ’+ Z’)
F = (Y + Z) (X ’+ Y + Z) (X’ + Y ’+ Z’)
คล้ายกันแม้ว่าคำที่กลับรายการจะลบออกจากคำและรูปแบบสูงสุดสองคำเท่านั้นที่จะแสดงที่นี่คืออินสแตนซ์
= (X + Y + Z) (X ’+ Y + Z)
= XX ’+ XY + XZ + X’Y + YY + YZ + X’Z + YZ + ZZ
= 0 + XY + XZ + X’Y + YY + YZ + X’Z + YZ + Z
= X (Y + Z) + X '(Y + Z) + Y (1 + Z) + Z
= (Y + Z) (X + X ’) + Y (1) + Z
= (Y + Z) (0) + Y + Z
= Y + Z
นิพจน์สุดท้ายข้างต้นยังคงอยู่ในรูปของ Product of Sum อย่างไรก็ตามมันอยู่ในรูปแบบของ non-canonical
3). ผลิตภัณฑ์ขั้นต่ำของผลรวม
นี่คือนิพจน์ที่เรียบง่ายที่สุดของผลรวมของผลรวมและยังเป็นประเภทของผลรวมที่ไม่เป็นที่ยอมรับ กระป๋องประเภทนี้ทำให้ง่ายขึ้นด้วยทฤษฎีบทพีชคณิตบูลีนแม้ว่าจะทำได้ง่ายๆโดยใช้ K-map (แผนที่ Karnaugh)
แบบฟอร์มนี้ถูกเลือกเนื่องจากจำนวนบรรทัดและประตูที่ใช้ในการนี้เป็นขั้นต่ำ มีประโยชน์อย่างมากเนื่องจากมีขนาดที่มั่นคงความเร็วที่รวดเร็วและราคาการผลิตที่ต่ำ
เรามาดูตัวอย่างฟังก์ชันรูปแบบบัญญัติและ ผลคูณของแผนที่ K คือ
POS K- แผนที่
การแสดงออกตามแผนที่ K จะเป็น
F = (Y + Z) (X ’+ Y’)
การออกแบบแผนผังผลิตภัณฑ์ของผลรวม
การแสดงออกของผลคูณของผลรวมดำเนินการออกแบบ OR- AND สองระดับและการออกแบบนี้ต้องการคอลเลกชันของ OR ประตูและหนึ่งประตู AND แต่ละนิพจน์ของผลรวมมีการออกแบบที่คล้ายคลึงกัน
การออกแบบแผนผังของ POS
จำนวนอินพุตและจำนวนประตู AND ขึ้นอยู่กับนิพจน์ที่กำลังใช้งาน การออกแบบสำหรับผลรวมขั้นต่ำของผลิตภัณฑ์และนิพจน์มาตรฐานโดยใช้ประตู OR-AND แสดงไว้ด้านบน
ดังนั้นทั้งหมดนี้เป็นข้อมูลเกี่ยวกับ แบบฟอร์มบัญญัติ : ผลรวมของผลิตภัณฑ์และผลิตภัณฑ์ของผลรวมการออกแบบแผนผัง K-map ฯลฯ จากข้อมูลข้างต้นในที่สุดเราสามารถสรุปได้ว่านิพจน์บูลีนประกอบด้วย minterm ใด ๆ อย่างสมบูรณ์มิฉะนั้น maxterm จะถูกตั้งชื่อเป็นนิพจน์บัญญัติ นี่คือคำถามสำหรับคุณ นิพจน์บัญญัติสองรูปแบบคืออะไร?
