พล็อต Bode & พล็อต Nyquist เป็นพล็อตที่ได้รับความนิยมมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับข้อมูล Electrochemical Impedance Spectroscopy หรือ EIS ในหมู่นักเคมีไฟฟ้า ดังนั้น Nyquist Plot จึงได้รับการตั้งชื่อตามชาวสวีเดน-อเมริกันชื่อ “Harry Nyquist” เขาเป็นวิศวกรไฟฟ้าและพัฒนาพล็อตนี้เพื่อจุดประสงค์ด้านอิเล็กทรอนิกส์ในปี พ.ศ. 2475 ระหว่าง EIS ข้อมูลจำนวนมากจะถูกรวบรวม & ข้อมูลที่รวบรวมนี้จำเป็นต้องนำเสนอ รูปภาพจึงให้ข้อมูลได้มากกว่าร้อยคำ ดังนั้นการแสดงกราฟิกเช่นพล็อต Nyquist จึงใช้เพื่อแสดงสเปกโทรสโกปีอิมพีแดนซ์ไฟฟ้าเคมี บทความนี้ให้ข้อมูลเกี่ยวกับ พล็อต Nyquist – การทำงาน ข้อดี & ข้อเสีย
คำจำกัดความของ Nyquist Plot
การแสดงกราฟิกที่ใช้กันอย่างแพร่หลายสำหรับฟังก์ชันการถ่ายโอนเรียกว่า Nyquist plot นี่คือแผนภาพการตอบสนองความถี่ที่ใช้ในการประเมินระบบควบคุมที่มีความเสถียรแบบป้อนกลับ เป็นพล็อตแบบพาราเมตริกสำหรับส่วนจริงและจินตภาพของฟังก์ชันการถ่ายโอนภายในระนาบเชิงซ้อน เนื่องจากพารามิเตอร์ความถี่กวาดตลอดช่วงเวลาที่กำหนด ในพิกัดคาร์ทีเซียน ส่วนจริงของฟังก์ชันโอนย้าย nyquist ถูกลงจุดบนแกน X ในขณะที่ส่วนจินตภาพของฟังก์ชันถ่ายโอนถูกลงจุดบนแกน Y
Nyquist Plot ใช้ในการควบคุมอัตโนมัติเช่นเดียวกับการประมวลผลสัญญาณสำหรับการวิเคราะห์ความเสถียร เพราะทุกคนสามารถตรวจสอบได้ทันทีว่าลูปที่มีการป้อนกลับเชิงลบเป็นไปตามหลักการความเสถียรของ Nyquist หรือไม่ หาก Nyquist พล็อตของ ระบบควบคุมวงเปิด ครอบคลุมจุดเหนือแกนจริงโดยประมาณ หลังจากนั้น ระบบลูปปิดที่สมมูลกันจะไม่เสถียร
กราฟพล็อต Nyquist
กราฟพล็อต Nyquist เป็นส่วนขยายของพล็อตเชิงขั้วที่ใช้เป็นหลักในการค้นหา ระบบควบคุมวงปิด ความเสถียรเพียงแค่เปลี่ยน 'ω' จาก −∞ เป็น ∞ นั่นหมายความว่า แผนภาพเหล่านี้ส่วนใหญ่จะใช้สำหรับการวาดการตอบสนองความถี่ทั้งหมดของฟังก์ชันการถ่ายโอนวงเปิด โครงเรื่อง Nyquist ประเมินความเสถียรของระบบควบคุมด้วยการป้อนกลับ ดังนั้น ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน พาร์จริงของฟังก์ชันถ่ายโอนจะถูกพล็อตบนแกน X ในขณะที่ส่วนจินตภาพถูกพล็อตบนแกน Y
พล็อต Nyquist ที่คล้ายกันสามารถอธิบายได้ง่ายๆ ด้วยพิกัดเชิงขั้ว โดยที่อัตราขยายของฟังก์ชันถ่ายโอนคือพิกัดรัศมี และเฟสของฟังก์ชันถ่ายโอนคือพิกัดเชิงมุมที่เท่ากัน
โครงเรื่อง Nyquist สามารถเข้าใจได้โดยรู้คำศัพท์บางคำที่ใช้ ในโครงเรื่อง Nyquist เส้นทางปิดภายในระนาบที่ซับซ้อนเรียกว่าเส้นชั้นความสูง
เส้นทาง Nyquist
เส้นทาง Nyquist หรือ Nyquist Contour เป็นรูปร่างปิดภายในระนาบ s ที่ล้อมรอบด้านขวามือทั้งหมดของระนาบ s เพื่อปิด RHS ทั้งหมดของระนาบ เส้นแบ่งครึ่งวงกลมขนาดใหญ่จะถูกวาดโดยเส้นผ่านศูนย์กลางตามแกน 'jω' และจุดศูนย์กลางที่แหล่งกำเนิด รัศมีครึ่งวงกลมถือเป็น Nyquist Encirclement
Nyquist Encirclement
เป็นที่ทราบกันดีว่าจุดนั้นจะถูกล้อมรอบด้วยเส้นหากพบในเส้นโค้ง
การทำแผนที่ Nyquist
ขั้นตอนที่จุดภายในระนาบ s ถูกเปลี่ยนเป็นจุดภายในระนาบ F เรียกว่าการทำแผนที่ & F เรียกว่าฟังก์ชันการทำแผนที่
การวิเคราะห์ความเสถียรของระบบควบคุมป้อนกลับส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับการจดจำตำแหน่งรากสำหรับสมการคุณลักษณะเหนือระนาบ s
ดังนั้น หากรากบนระนาบ s อยู่ที่ใบหน้าด้านซ้าย ระบบควบคุมก็จะเสถียร ดังนั้น ความเสถียรสัมพัทธ์ของระบบสามารถกำหนดได้โดยใช้เทคนิคการตอบสนองความถี่ต่างๆ เช่น พล็อต Nyquist, พล็อต Bode & พล็อต Nichols
เกณฑ์ความเสถียรของ Nyquist
เกณฑ์ความเสถียรของ Nyquist ส่วนใหญ่ใช้เพื่อรับรู้การมีอยู่ของรากสำหรับสมการลักษณะเฉพาะในพื้นที่เฉพาะของระนาบ S เกณฑ์ความเสถียรของ Nyquist เช่น N = Z – P พูดง่ายๆ ว่า 'N' คือจำนวนวงกลมทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับจุดกำเนิด 'P' คือจำนวนเสา & 'Z' คือจำนวนศูนย์ทั้งหมด
ในกรณีที่ 1: เมื่อ N = 0 (ไม่มีการตีวง) ดังนั้น Z = P = 0 & Z = P
ถ้า N = 0, P ควรเป็น '0' เพื่อให้ระบบเสถียร
ในกรณีที่ 2: เมื่อ N มากกว่า 0 (การตีวงตามเข็มนาฬิกา) ดังนั้น P = 0, Z ≠0 & Z > P
ในสองกรณีนี้ ระบบไม่เสถียร
ในกรณีที่ 3: เมื่อ N น้อยกว่า 0 (ตีวงทวนเข็มนาฬิกา) ดังนั้น Z = 0, P ≠0 & P > Z
ดังนั้นระบบจึงมีความเสถียร
วิธีการวาด Nyquist Plot?
มีหลายขั้นตอนที่เกี่ยวข้องในการวาดพล็อต nyquist ที่กล่าวถึงด้านล่าง
- ในขั้นตอนที่ 1: ต้องตรวจสอบเสาสำหรับฟังก์ชันการถ่ายโอนวงเปิด เช่น G(s)H(s) ภายในระนาบ 's'
- ในขั้นตอนที่ 2: เลือกรูปร่าง Nyquist ที่ถูกต้องโดยรวมด้านขวาทั้งหมดของระนาบ s โดยเพียงแค่วาดครึ่งวงกลมรัศมี 'R' โดยที่ R มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด
- ในขั้นตอนที่ 3: จดจำส่วนต่างๆ บนโครงร่างพร้อมตำแหน่งไปยังเส้นทาง Nyquist
- ในขั้นตอนที่ 4: ส่วนการแมปต้องดำเนินการผ่านส่วนโดยการแทนที่สมการส่วนที่เกี่ยวข้องในฟังก์ชันการแมป โดยทั่วไปเราต้องวาดโครงร่างเชิงขั้วสำหรับส่วนเฉพาะ
- ในขั้นตอนที่ 5: โดยทั่วไป การแม็ปเซ็กเมนต์จะสะท้อนภาพการแมปสำหรับเส้นทางเฉพาะของแกนจินตภาพเชิงบวก
- ในขั้นตอนที่ 6: เส้นรูปครึ่งวงกลมที่ครอบคลุมครึ่งขวาของระนาบโดยปกติจะแมปเป็นจุดภายในระนาบ G(s) H(s)
- ในขั้นตอนที่ 7: เชื่อมต่อส่วนการแมปต่างๆ ทั้งหมดเข้าด้วยกันเพื่อให้ได้ไดอะแกรม Nyquist ที่จำเป็น
- ในขั้นตอนที่ 8: จดบันทึกหมายเลข ของวงตามเข็มนาฬิกาประมาณ (-1, 0) & ตัดสินความมั่นคงผ่าน N = Z – P
เมื่อวาดพล็อต Nyquist แล้ว เราสามารถค้นพบความเสถียรของระบบควบคุมวงปิดด้วยเกณฑ์ความเสถียรของ Nyquist ดังนั้น หากจุดวิกฤติ (-1+j0) อยู่ที่ด้านนอกของวงกลม ระบบควบคุมวงปิดก็จะเสถียรอย่างสมบูรณ์
ฟังก์ชันการถ่ายโอนวงเปิดคือ G(S)H(S) = N(S)/D(S)
ฟังก์ชันการถ่ายโอนวงปิดคือ G(S)/1+ G(S)H(S)
N(s) = ศูนย์คือศูนย์วงเปิด & D(s) คือเสาวงเปิด
จากมุมมองด้านความมั่นคง จะต้องไม่มีเสาวงปิดอยู่บนหน้า RH ของระนาบ s สมการคุณลักษณะ เช่น 1 + G(s) H(s) เท่ากับศูนย์ หมายถึงขั้วแบบวงปิด
เมื่อ 1 + G(s) H(s) เท่ากับ 0 ดังนั้น q(s) จะต้องเป็นศูนย์
ดังนั้น จากมุมมองด้านความมั่นคง เลขศูนย์ของ q ไม่ควรอยู่ในระนาบขวามือของระนาบ s
เพื่ออธิบายความแข็งแกร่ง จำเป็นต้องพิจารณา RHP ทั้งหมด ดังนั้นเราจึงจินตนาการถึงครึ่งวงกลมที่รวมจุดทั้งหมดภายใน RHP โดยพิจารณาจากรัศมีครึ่งวงกลม 'R' ซึ่งมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด
การวิเคราะห์ความเสถียรด้วย Nyquist Plot
จากโครงเรื่อง Nyquist เราสามารถรับรู้ได้ว่าระบบควบคุมมีความเสถียร ไม่เสถียร หรือเสถียรเพียงเล็กน้อย ขึ้นอยู่กับค่าพารามิเตอร์
- รับความถี่ครอสโอเวอร์และความถี่ครอสโอเวอร์เฟส
- รับระยะขอบและระยะขอบ
ความถี่ข้ามเฟส
ความถี่ที่จุดที่พล็อต Nyquist ตรงกับแกนจริงเชิงลบเรียกว่าความถี่ข้ามเฟสและแสดงด้วย ωpc
ได้รับข้ามความถี่
ความถี่ที่จุดที่พล็อต Nyquist มีหนึ่งขนาดเรียกว่า ความถี่ครอสโอเวอร์ที่ได้รับ และแสดงด้วย ωgc
ความเสถียรของระบบควบคุมตามความสัมพันธ์หลักระหว่างสองความถี่ เช่น การข้ามเฟสและการข้ามการขยายจะอธิบายไว้ด้านล่าง
- ถ้า ωpc สูงกว่าเมื่อเทียบกับ ωgc แสดงว่าระบบควบคุมมีความเสถียร
- ถ้า ωpc เทียบเท่ากับ ωgc ระบบควบคุมจะเสถียรเล็กน้อย
- ถ้า ωpc น้อยกว่าเมื่อเทียบกับ ωgc แสดงว่าระบบควบคุมไม่เสถียร
ได้รับมาร์จิ้น
อัตรากำไรขั้นต้นนั้นเทียบเท่ากับส่วนกลับของขนาดของพล็อต Nyquist ที่ความถี่ครอสโอเวอร์เฟส
อัตรากำไร (GM) =1/Mpc
โดยที่ 'Mpc' คือขนาดภายในสเกลปกติที่ความถี่ ωpc หรือเฟสครอสโอเวอร์
ระยะขอบ
ระยะขอบเทียบเท่ากับผลรวมของ 180 องศาและมุมเฟสที่ ωgc หรือได้รับความถี่ครอสโอเวอร์
PM = 1800 + ϕgc
โดยที่ ϕgc คือมุมเฟสที่ความถี่ครอสโอเวอร์ที่ได้รับ (ωgc)
ความเสถียรของระบบควบคุมขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์หลักระหว่างระยะขอบทั้งสอง เช่น อัตราขยายและระยะขอบที่ระบุด้านล่าง
หากอัตราขยายสูงกว่าหนึ่ง & อัตรากำไรขั้นต้นเป็นบวก แสดงว่าระบบควบคุมมีเสถียรภาพ
หากอัตราขยายเท่ากับหนึ่ง & อัตรากำไรขั้นต้นคือ '0' องศา แสดงว่าระบบควบคุมมีความเสถียรเล็กน้อย
หากอัตราขยายต่ำกว่าหนึ่ง & อัตรากำไรขั้นต้นเป็นลบ แสดงว่าระบบควบคุมไม่เสถียร
ปัญหาตัวอย่าง Nyquist Plot
ตัวอย่าง 1: หากพล็อต Nyquist ตัดแกนจริงเชิงลบที่ระยะทาง 0.6 ระบบจะได้รับส่วนต่างเท่าใด
เรารู้ว่าอัตราขยายของระบบสามารถกำหนดเป็นจำนวนของการเปลี่ยนแปลงที่จำเป็นภายในอัตราขยายวงเปิดเพื่อทำให้ระบบวงปิดไม่เสถียรคือ
ได้รับส่วนต่างหรือ GM = 1/|G| วพ
โดยที่อัตราขยายของระบบคือ |G| และ wpc คือความถี่ครอสโอเวอร์เฟส
ความถี่ครอสโอเวอร์เฟสสามารถกำหนดเป็น; ความถี่ที่จุดที่ระบบได้รับคือ '0'
Gm = 1/0.6 = 1.66
อดีต 2: ฟังก์ชันการถ่ายโอนระบบวงเปิดของระบบป้อนกลับเชิงลบแบบเอกภาพได้รับเป็น G(s) = 1/S(S+1) เส้นโค้ง Nyquist ภายในระนาบ S รวมถึงระนาบด้านขวาทั้งหมด & พื้นที่ขนาดเล็กรอบจุดกำเนิดทางด้านซ้ายที่แสดงในกราฟต่อไปนี้ หมายเลข ของวงกลมของจุด (-1+ j0) ผ่านโครงร่าง G(S) Nyquist ซึ่งเทียบเท่ากับโครงร่าง Nyquist ซึ่งระบุว่าเป็น 'N' แล้ว 'N' เทียบเท่ากับ?
หมายเลข ของวงกลมสำหรับจุดสำคัญ (-1+ j0) จะได้รับผ่าน N = P-Z
โดยที่ 'N' คือจำนวนรอบของจุดวิกฤตินี้ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา
'P' คือจำนวนเสาวงเปิดภายในด้านขวาของระนาบ S
'Z' คือจำนวนเสาวงปิดภายในด้านขวาของระนาบ S
N = P สำหรับความเสถียร Z = 0
สูตรที่ให้ไว้ข้างต้นใช้ได้เฉพาะเมื่อกำหนดเส้นโค้ง Nyquist สำหรับด้านขวาของระนาบ S และไม่รวมเสาที่ต้นทาง การหมุนของเส้นโค้งควรเป็นตามเข็มนาฬิกา และการตีวงรอบจุดวิกฤตอยู่ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา
G(s) = 1/S(S+1).
เสาวงเปิดอยู่ที่ S = 0,-1
ฟังก์ชันถ่ายโอนของวงปิด = 1/S^2+S+1
จำนวนเสาปิดด้านขวาเป็นศูนย์
แต่รูปร่างของ Nyquist นั้นกำหนดไว้สำหรับครึ่งด้านทั้งหมดของระนาบ S และมีเสาที่จุดกำเนิดด้วย
ดังนั้น ที่ S=0 เสาวงเปิดจึงถือเป็นเสาที่อยู่ทางด้านขวาของระนาบ S
N = P-Z =>1-0 =>1
ข้อดีและข้อเสีย
เดอะ ข้อดีของพล็อต Nyquist รวมสิ่งต่อไปนี้
- พล็อต Nyquist เป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์อย่างยิ่งในการกำหนดความเสถียรของระบบ
- มันมีข้อได้เปรียบมากมายเหนือ Routh-Horwitz & root locus เนื่องจากมันจัดการการหน่วงเวลาได้ง่าย
- แต่มันมีประโยชน์มากที่สุดเพราะมันทำให้เรามีวิธีการใช้พล็อตลางสังหรณ์เพื่อตัดสินความเสถียร
- เมื่อใช้สิ่งนี้ จะสามารถตัดสินใจเสถียรภาพของระบบควบคุมได้
- พบฟังก์ชันการถ่ายโอนวงเปิดโดยการวัดการตอบสนองความถี่ของมัน
- มันดีกว่าเมื่อเทียบกับรูทโลคัสในแง่ของการหน่วงเวลา ซึ่งหมายความว่าพล็อต Nyquist สามารถจัดการการหน่วงเวลาภายในระบบได้อย่างง่ายดาย
- สามารถระบุตำแหน่งการตอบสนองความถี่ของฟังก์ชัน open-loop transfer ได้
- มันพบหมายเลข ของเสา มีเสาอยู่ทางด้านขวาของระนาบ s
- พบความเสถียรสัมพัทธ์ของระบบ/
เดอะ ข้อเสียของพล็อต Nyquist รวมสิ่งต่อไปนี้
- พล็อต Nyquist ใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์ที่ยากบางอย่าง
- ไม่สามารถแก้ไขความแข็งแรงสมบูรณ์ของระบบได้
- ไม่ได้ให้ข้อมูลที่แม่นยำเกี่ยวกับเสาที่มีอยู่ทางด้านขวาของระนาบ s
แอปพลิเคชั่น Nyquist Plot
แอปพลิเคชันของพล็อต Nyquist มีดังต่อไปนี้
- พล็อต Nyquist ใช้เพื่อสร้างความเสถียรของระบบผ่านกระบวนการกราฟิกภายในโดเมนความถี่
- พล็อต Nyquist หรือพล็อตการตอบสนองความถี่ส่วนใหญ่จะใช้ในวิศวกรรมควบคุมและการประมวลผลสัญญาณ
- สิ่งเหล่านี้เป็นส่วนเสริมสำหรับพล็อตโพลาร์ ซึ่งใช้ในการหาเสถียรภาพของระบบควบคุมวงปิด
- เป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์อย่างยิ่งในการกำหนดความเสถียรของระบบ
- การใช้พล็อต Nyquist เราสามารถตรวจสอบระยะห่างระหว่างจุดสองจุด (–1, 0) และจุดที่เส้นโค้งตัดกับแกนจริงที่เป็นลบ
Nyquist Plot ใช้ในการกำหนดเสถียรภาพอย่างไร
สามารถกำหนดความเสถียรได้โดยใช้ Nyquist Plot เพียงแค่ดูที่หมายเลข ของการล้อมรอบจุด (−1, 0) ความหลากหลายของอัตราขยายที่ระบบจะคงที่สามารถกำหนดได้โดยการดูที่จุดตัดแกนจริง พล็อตนี้ให้ข้อมูลบางอย่างเกี่ยวกับรูปร่างของฟังก์ชันการถ่ายโอน
เกณฑ์ Nyquist สำหรับการสุ่มตัวอย่างคืออะไร
เกณฑ์ของ Nyquist กำหนดให้ความถี่ในการสุ่มตัวอย่างมีค่าอย่างน้อยสองเท่าของความถี่สูงสุดที่มีอยู่ในสัญญาณ หากความถี่ในการสุ่มตัวอย่างต่ำกว่าสองเท่าของความถี่สัญญาณอะนาล็อกสูงสุด ปรากฏการณ์ที่เรียกว่า aliasing จะเกิดขึ้น
สิ่งที่ใช้สำหรับ Nyquist Plot?
ฟังก์ชันการถ่ายโอนแบบวงเปิดใช้สำหรับ Nyquist Plot
กฎ Nyquist คืออะไร?
กฎของ Nyquist ระบุเพียงว่าควรสุ่มตัวอย่างสัญญาณเป็นระยะที่สูงกว่าส่วนประกอบความถี่สูงสุดของสัญญาณสองเท่า ในความเป็นจริง เนื่องจากเวลาที่มีจำกัด อัตราการสุ่มตัวอย่างจึงค่อนข้างสูงกว่าที่ต้องการ
สูตรอัตราบิตของ Nyquist สำหรับ Noiseless คืออะไร
Nyquist ระบุเพียงว่าในช่องแบนด์วิธ 'B' คุณสามารถส่งสัญญาณมุมฉากได้สูงสุด 2B ต่อวินาที ดังนั้น Rp ≤ 2B โดยที่ 'Rp' คืออัตราชีพจร
พล็อตของ Nyquist แสดงถึงอะไร?
พล็อต Nyquist แสดงข้อมูลบางอย่างเกี่ยวกับรูปแบบของฟังก์ชันการถ่ายโอน ตัวอย่างเช่น; พล็อตนี้ให้ข้อมูลเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงระหว่างหมายเลข ของขั้วและศูนย์ของฟังก์ชันการถ่ายโอนผ่านมุมที่จุดที่เส้นโค้งมาถึงจุดกำเนิด
ดังนั้นนี่คือ ภาพรวมของพล็อต Nyquist – ข้อดี ข้อเสีย และการใช้งาน พล็อต Nyquist ใช้สำหรับวิเคราะห์คุณสมบัติของระบบควบคุม เช่น ความเสถียร ส่วนต่างเฟส และส่วนต่างกำไร Nyquist Plot โดยใช้ Matlab ช่วยเราในการสร้างกราฟ Nyquist ซึ่งเกี่ยวข้องกับการตอบสนองความถี่ที่สร้างขึ้นผ่านแบบจำลองไดนามิก นี่คือคำถามสำหรับคุณ โครงร่างที่เป็นลางบอกเหตุคืออะไร
