อิเล็กตรอน และหลุม มีบทบาทสำคัญในการถ่ายโอนกระแสไฟฟ้า เซมิคอนดักเตอร์ . อนุภาคเหล่านี้ถูกจัดเรียงในระดับพลังงานที่แตกต่างกันในเซมิคอนดักเตอร์ การเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนจากระดับพลังงานหนึ่งไปยังอีกระดับหนึ่ง สร้างกระแสไฟฟ้า . อิเล็กตรอนภายในโลหะควรมีระดับพลังงานที่มากกว่าพลังงานสิ่งกีดขวางพื้นผิวเป็นอย่างน้อยเพื่อที่จะหนีไปยังระดับพลังงานที่สูงขึ้น

มีการเสนอและยอมรับวิทยานิพนธ์จำนวนมากเพื่ออธิบายลักษณะและพฤติกรรมของอิเล็กตรอน แต่พฤติกรรมบางอย่างของอิเล็กตรอนเช่นความเป็นอิสระของการปล่อยกระแสไฟฟ้าต่ออุณหภูมิเป็นต้น ... ยังคงเป็นปริศนา จากนั้นสถิติที่ก้าวหน้า สถิติ Fermi Dirac , เผยแพร่โดย เอนริโกเฟอร์มิ และ พอล Dirac ในปี 1926 ช่วยไขปริศนาเหล่านี้

ต่อจากนั้น การกระจาย Fermi Dirac ถูกนำไปใช้เพื่ออธิบายการล่มสลายของดาวฤกษ์เป็นดาวแคระขาวเพื่ออธิบายการปลดปล่อยอิเล็กตรอนอิสระจากโลหะ ฯลฯ ….

การกระจาย Fermi Dirac

ก่อนที่จะเข้าสู่ ฟังก์ชันการกระจาย Fermi Dirac ให้เราดู พลังงาน การกระจายของอิเล็กตรอนในเซมิคอนดักเตอร์ประเภทต่างๆ พลังงานสูงสุดของอิเล็กตรอนอิสระสามารถมีได้ในวัสดุที่อุณหภูมิสัมบูรณ์เช่น. ที่ 0k เรียกว่าระดับพลังงาน Fermi ค่าของพลังงาน Fermi แตกต่างกันไปตามวัสดุที่แตกต่างกัน จากพลังงานที่ถูกครอบครองโดยอิเล็กตรอนในเซมิคอนดักเตอร์อิเล็กตรอนจะถูกจัดเรียงเป็นแถบพลังงานสามแถบ - แถบการนำไฟฟ้า, ระดับพลังงานเฟอร์มิ, วงวาเลนซี

ในขณะที่แถบการนำไฟฟ้ามีอิเล็กตรอนที่ถูกกระตุ้น แต่วงวาเลนซ์จะมีรู แต่ระดับเฟอร์มิมีไว้เพื่ออะไร? ระดับเฟอร์มิคือสถานะพลังงานที่มีความน่าจะเป็นของการถูกอิเล็กตรอนยึดครอง กล่าวง่ายๆคือระดับพลังงานสูงสุดที่อิเล็กตรอนสามารถมีได้ที่ 0k และความน่าจะเป็นของการพบอิเล็กตรอนที่สูงกว่าระดับนี้ที่อุณหภูมิสัมบูรณ์คือ 0 ที่อุณหภูมิศูนย์สัมบูรณ์ครึ่งหนึ่งของระดับ Fermi จะเต็มไปด้วยอิเล็กตรอน

ในแผนภาพวงพลังงานของเซมิคอนดักเตอร์ระดับ Fermi อยู่ตรงกลางของการนำและวงวาเลนซ์สำหรับเซมิคอนดักเตอร์ภายใน สำหรับสารกึ่งตัวนำภายนอกระดับ Fermi อยู่ใกล้กับวงวาเลนซีใน สารกึ่งตัวนำชนิด P และสำหรับ สารกึ่งตัวนำชนิด N มันอยู่ใกล้กับแถบการนำไฟฟ้า

ระดับพลังงาน Fermi แสดงโดย คือ_ฉ, แถบการนำไฟฟ้าแสดงเป็น คือ_ค และวงวาเลนซ์แสดงเป็น E_V.

ระดับเฟอร์มิในประเภท N และ P

ระดับเฟอร์มิในเซมิคอนดักเตอร์ชนิด N และ P

ฟังก์ชันการกระจาย Fermi Dirac

ความน่าจะเป็นที่สถานะพลังงานที่มีอยู่ ‘E’ จะถูกอิเล็กตรอนยึดครองที่อุณหภูมิสัมบูรณ์ T ภายใต้เงื่อนไขของสมดุลทางความร้อนนั้นกำหนดโดยฟังก์ชัน Fermi-Dirac จากฟิสิกส์ควอนตัม Fermi-Dirac Distribution Expression คือ

โดยที่ k คือค่าคงที่ของ Boltzmann ใน ^หรือถึง , T คืออุณหภูมิใน ⁰ถึง และ คือ_ฉ คือระดับพลังงาน Fermi ใน eV.k = 1.38X10^{-2. 3}J / K

ระดับ Fermi แสดงถึงสถานะพลังงานโดยมีความน่าจะเป็น 50% ที่จะถูกเติมหากไม่มีแถบต้องห้ามกล่าวคือถ้า E = E_ฉ แล้ว f (E) = 1/2 สำหรับค่าใด ๆ ของอุณหภูมิ

“สเต็ปดาวน์หม้อแปลงทำงานอย่างไร ”

การแจกแจงแบบ Fermi-Dirac ให้ความน่าจะเป็นของการครอบครองของรัฐในระดับพลังงานที่กำหนดเท่านั้น แต่ไม่ได้ให้ข้อมูลใด ๆ เกี่ยวกับจำนวนสถานะที่มีอยู่ในระดับพลังงานนั้น

แผนภาพการกระจาย Fermi Dirac และวงพลังงาน

f (E) เทียบกับ (E-E_ฉ) พล็อต

พล็อตด้านบนแสดงพฤติกรรมของระดับเฟอร์มิที่ช่วงอุณหภูมิต่างๆ T = 0⁰K, T = 300⁰K, T = 2500⁰ถึง. ที่ T = 0K เส้นโค้งมีลักษณะเหมือนขั้นบันได

ที่ T = 0⁰ถึง จำนวนระดับพลังงานทั้งหมดที่ครอบครองโดยอิเล็กตรอนสามารถทราบได้โดยใช้ฟังก์ชัน Fermi-Dirac

สำหรับระดับพลังงานที่กำหนด E> E_ฉ ระยะเลขชี้กำลังในฟังก์ชัน Fermi-Dirac จะกลายเป็น 0 และซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นในการค้นหาระดับพลังงานที่ถูกยึดครองมากกว่า คือ_ฉ เป็นศูนย์

สำหรับระดับพลังงานที่กำหนด คือฉ ค่าซึ่งหมายความว่าระดับพลังงานทั้งหมดที่มีพลังงานน้อยกว่าระดับ Fermi ระดับ E_ฉจะถูกจับจองที่ T = 0⁰ถึง . สิ่งนี้บ่งชี้ว่าระดับพลังงาน Fermi เป็นพลังงานสูงสุดที่อิเล็กตรอนสามารถมีได้ที่อุณหภูมิศูนย์สัมบูรณ์

สำหรับอุณหภูมิที่มากกว่าอุณหภูมิสัมบูรณ์และ E = E_ฉ จากนั้นไม่ขึ้นกับค่าของอุณหภูมิ

สำหรับอุณหภูมิที่มากกว่าอุณหภูมิสัมบูรณ์และ คือฉ จากนั้นเลขชี้กำลังจะเป็นลบ ฉ (E) เริ่มต้นที่ 0.5 และมีแนวโน้มที่จะเพิ่มขึ้นเป็น 1 เมื่อ E ลดลง

สำหรับอุณหภูมิที่มากกว่าอุณหภูมิสัมบูรณ์และ E> E_ฉ เลขชี้กำลังจะเป็นบวกและเพิ่มขึ้นโดย E f (E) เริ่มจาก 0.5 และมีแนวโน้มที่จะลดลงเป็น 0 เมื่อ E เพิ่มขึ้น

การประมาณค่า Boltzmann ของ Fermi Dirac Distribution

การกระจาย Maxwell- Boltzmann เป็นวิธีที่ใช้กันทั่วไป การประมาณการแจกแจงของ Fermi Dirac .

การกระจาย Fermi-Dirac มอบให้โดย

โดย ใช้ Maxwell - การประมาณของ Boltzmann จากสมการข้างต้นจะลดลงเป็น

“ไดอะแฟรมปั๊มน้ำมันทำงานอย่างไร ”

เมื่อความแตกต่างระหว่างพลังงานของพาหะและระดับเฟอร์มิมีค่ามากเมื่อเทียบกับเทอม 1 ในตัวส่วนอาจถูกละเลยได้ สำหรับการประยุกต์ใช้การกระจาย Fermi-Dirac อิเล็กตรอนจะต้องเป็นไปตามหลักการเฉพาะตัวของ Pauli ซึ่งมีความสำคัญเมื่อต้องใช้ยาสลบสูง แต่การกระจาย Maxwell-Boltzmann ละเลยหลักการนี้ดังนั้นการประมาณ Maxwell-Boltzmann จึง จำกัด เฉพาะกรณีที่มีการเจือน้อย

Fermi Dirac และ Bose-Einstein Statistics

สถิติ Fermi-Dirac เป็นสาขาหนึ่งของสถิติควอนตัมซึ่งอธิบายการกระจายของอนุภาคในสถานะพลังงานที่มีอนุภาคที่เหมือนกันตามหลักการยกเว้นของ Pauli เนื่องจากสถิติ F-D ถูกนำไปใช้กับอนุภาคที่มีสปินครึ่งจำนวนเต็มจึงเรียกว่าเฟอร์มิออน

ระบบที่ประกอบด้วยอุณหพลศาสตร์ที่สมดุลและอนุภาคที่เหมือนกันในสถานะอนุภาคเดี่ยว I จำนวนเฟอร์มิออนโดยเฉลี่ยจะได้รับจากการแจกแจง F-D เป็น

สถานะอนุภาคเดียวอยู่ที่ไหน ผม ศักยภาพทางเคมีทั้งหมดแสดงโดย ถึง_ข คือค่าคงที่ Boltzmann ในขณะที่ ที คืออุณหภูมิที่แน่นอน

สถิติของ Bose-Einstein นั้นตรงกันข้ามกับสถิติ F-D สิ่งนี้ใช้กับอนุภาคที่มีสปินจำนวนเต็มเต็มหรือไม่มีสปินที่เรียกว่า Bosons อนุภาคเหล่านี้ไม่เป็นไปตามหลักการยกเว้นของ Pauli ซึ่งหมายความว่าการกำหนดค่าควอนตัมเดียวกันสามารถเติมเต็มด้วยโบซอนได้มากกว่าหนึ่งโบซอน

สถิติ F-D และสถิติ Bore-Einstein ถูกนำไปใช้เมื่อผลของควอนตัมมีความสำคัญและอนุภาคนั้นแยกไม่ออก

ปัญหาการกระจาย Fermi Dirac

ในของแข็งให้พิจารณาระดับพลังงานอยู่ที่ 0.11eV ต่ำกว่าระดับ Fermi ค้นหาความน่าจะเป็นของระดับนี้ที่อิเล็กตรอนไม่ถูกครอบครอง?

ปัญหาการกระจาย Fermi Dirac

ทั้งหมดนี้เป็นข้อมูลเกี่ยวกับ การกระจาย Fermi Dirac . จากข้อมูลข้างต้นเราสามารถสรุปได้ว่าคุณสมบัติของระบบมหภาคของระบบสามารถคำนวณได้โดยใช้ฟังก์ชัน Fermi-Dirac ใช้เพื่อทราบพลังงาน Fermi ทั้งในกรณีที่เป็นศูนย์และอุณหภูมิ จำกัด มาตอบคำถามโดยไม่ต้องคำนวณใด ๆ ตามความเข้าใจของเราเกี่ยวกับการแจกแจงแบบ Fermi-Dirac สำหรับระดับพลังงาน E 0.25e.V ต่ำกว่าระดับ Fermi และอุณหภูมิที่สูงกว่าอุณหภูมิสัมบูรณ์เส้นโค้งการกระจายของ Fermi จะลดลงเป็น 0 หรือเพิ่มขึ้นเป็น 1 หรือไม่?